Определитель произведения квадратных матриц

Пусть $A$ и $B$ — квадратные матрицы порядка $n$. Тогда $$ \det(AB) = \det A \cdot \det B $$

Рассмотрим блочную матрицу $M$ размера $2n \times 2n$: $$ M = \begin{pmatrix} A & 0 \\ -E & B \end{pmatrix} $$ где $E$ — единичная матрица порядка $n$. Определитель этой блочно-нижнетреугольной матрицы равен $\det M = \det A \cdot \det B$. Выполним элементарные преобразования столбцов матрицы $M$, не изменяющие её определитель. Для каждого $j \in \{1, \dots, n\}$, к $(n+j)$-му столбцу матрицы $M$ (обозначим его $C_{n+j}$) прибавим линейную комбинацию первых $n$ столбцов $C_1, \dots, C_n$: $$ C'_{n+j} = C_{n+j} + \sum_{k=1}^n b_{kj} C_k $$ где $b_{kj}$ — элемент матрицы $B$ на $k$-й строке и $j$-м столбце. Рассмотрим элементы нового $(n+j)$-го столбца $C'_{n+j}$. Элемент на $i$-й строке в верхнем блоке $M'$: Исходный элемент в $(n+j)$-м столбце $M$ равен $0$. Элемент $k$-го добавляемого столбца $C_k$ на $i$-й строке равен $a_{ik}$ (элемент матрицы $A$). Новый элемент $(i, n+j)$ в $M'$: $$ (C'_{n+j})_i = 0 + \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj} = (AB)_{ij} $$ Значит, нулевой блок в верхней правой части $M$ превращается в блок $AB$. Элемент на $(n+p)$-й строке в верхнем блоке $M'$: Исходный элемент в $(n+j)$-м столбце $M$ на этой позиции равен $b_{pj}$ (элемент матрицы $B$). Элемент $k$-го добавляемого столбца $C_k$ на $(n+p)$-й строке равен $-\delta_{pk}$ (элемент матрицы $-E$). Новый элемент $(n+p, n+j)$ в $M'$: $$ (C'_{n+j})_{n+p} = b_{pj} + \sum_{k=1}^n (-\delta_{pk}) b_{kj} = b_{pj} - b_{pj} = 0 $$ Значит, блок $B$ в нижней правой части $M$ превращается в нулевой блок. Матрица $M$ преобразуется к виду: $$ M' = \begin{pmatrix} A & AB \\ -E & 0 \end{pmatrix} $$ Данные элементарные преобразования не меняют определитель, поэтому $\det M' = \det M$. Далее, поменяем местами первые $n$ столбцов матрицы $M'$ с последними $n$ столбцами, выполнив $n$ перестановок. Получим матрицу $M''$: $$ M'' = \begin{pmatrix} AB & A \\ 0 & -E \end{pmatrix} $$ Определитель $M''$ связан с $\det M'$ соотношением $\det M' = (-1)^{n} \det M''$. Определитель полураспавшейся матрицы $M''$ равен: $$ \det M'' = \det(AB) \cdot \det(-E) = \det(AB) \cdot (-1)^n $$ Собирая все вместе: $$ \det A \cdot \det B = \det M = \det M' = (-1)^{n} \det M'' = (-1)^{n} (-1)^n \det(AB) $$ $$ \det A \cdot \det B = \det AB $$ $\square$